플라즈마 시뮬레이션 (5) - 지배 방정식 (Governing equations)

 

플라즈마 시뮬레이션

지난 포스트에서는 플라즈마 시뮬레이션에 대한 유동적 방식 및 역학적 방식에 대해 알아보았는데요. 

 

이번 시간에는 플라즈마 시뮬레이션에서 가장 중요한 지배 방정식에 대해 알아보겠습니다.

 

로렌츠 힘 (Lorentz force)

로렌츠 힘은 전기적 (electric) +자기적 (magnetic) 힘이 입자에 가해지는 걸 방정식화 한것이라고 할수 있습니다. 

$$\vec F=q(\vec E+\vec v\,\times\,\vec B)$$

 

$\vec E$ : 전기장, $\vec v$: 입자 속도, $\vec B$: 자기장

맥스웰 방정식 (Maxwell's equations)

맥스웰 방정식이 있으면 거의 모든 전자기장에 관한 문제를 풀수 있습니다. 

 

가우스의 법칙 (Gauss’ law) : $\nabla \cdot \vec E = \frac{\rho }{\epsilon_0}$

가우스 자기 법칙 (Gauss' law for magnetism) : $\nabla \cdot \vec B = 0$

페러데이 법칙 (Faraday's law) :  $\nabla\,\times\,\vec E = -\frac{\partial \vec B }{\partial t}$

암페어 법칙 (Ampere's law) : $\nabla\,\times\,\vec B = \mu_0 \left ( \vec j + \epsilon_0 \frac{\partial \vec E }{\partial t} \right )$

 

$\rho$: 전하밀도, $\vec j$: 전류 밀도

 

페러데이의 법칙을 살펴 보면 시간변화에 자기장 변화가 없을때 ($\frac{\partial \vec B}{\partial t}=0$) 전기장의 변화 또한 없다는 ($\nabla\,\times\,\vec E$ = 0) 말이 됩니다.

 

헬름홀츠 정리 (Helmholtz decomposition) 를 따르면 부드러운 벡터필드 $\vec F$는 irroational (curl-free) 와 solenoidal (divergence-free) 파트로 나타 낼수 있습니다. 

$$\vec F = -\nabla \phi + \nabla\times\vec A$$

 

만약 자기장이 시간에 대해 변화지않으면 solenoidal part 를 무시 할수 있습니다. 

$$\vec E = -\nabla \phi $$

 

전류밀도가 암페어 법칙을 무시할수 있을 정도로 아주 적을때에 우리는 이 가정을 정전기 가정이라고 부를수 있습니다.

 

포숀 방정식 (Poisson's equations)

정전기 가정을 사용하면 문제를 풀기위한 방식을 간략화 할수 있습니다. 

가우스 법칙을 풀기위해 정전기 가정을 대입해보면

$\nabla \cdot (-\nabla \phi) = \frac{\rho}{\epsilon_0}$ 또는 $\nabla^2 \phi = -\frac{\rho}{\epsilon_0}$ 으로 나타 낼수 있습니다.

 

이 포숀 방정식은 정전기 PIC 시뮬레이션에서 전압을 구하기 위한 가장 기본되는 방법입니다. 

 

지금까지 PIC 시뮬레이션이 지배 방정식에 대해 알아보았습니다. 

 

다음 포스트는 간단한 시뮬레이션을 해보도록 하겠습니다.