플라즈마 시뮬레이션 (2) - 간접적 접근법 feat. 맥스웰-볼츠만 분포 함수 (Maxwell-Boltzmann Distributition Functition)

 

플라즈마 시뮬레이션의 접근

지난 포스트에서는 플라즈마 시뮬레이션에 대한 직접적 접근법에 대해 알아보았는데요. 직접적 접근법은 시뮬레이션 시간과 메모리 사용 때문에 사용이 불가능하였는데요.

 

이번 시간에는 시간및 메모리 단축을 할수 있는 방법에 대해 알아보려고 합니다.

 

볼츠만방정식 (Boltzmann Equation)

만약 조그만한 컨트롤 부피 (3D 히스토그램) 속에 있는 플라즈마 입자들을 샘플링하기에 충분한 시간동안 얼린다고 생각해보면 우리는 매 시간 스탭마다 샘플링 할 수 있을 것 입니다. 이러한 히스토그램은 무한대로 펼치게 되면 부드러운 초공간 표면으로 나타낼 수 있을것 입니다. 

 

이러한 표면을 우리는 속도 분포 함수 (the velocity distribution function, f)로 나타낼수 있습니다. 

 

입자들 끼리의 충돌이 배제되어 있을 때, 이 접근법의 가장 큰 이점은 모든 같은 속도를 가진 입자들의 이동을 한가지로 표현 할수 있기 때문에 하나의 컨트롤 부피에 대한 속도를 통합 할 필요가 없습니다.

 

따라서 속도 분포 함수의 총 도함수가 아직 TBD 충돌 오퍼레이션을 통해서만 변경됨을 나타내는 보존 진술 (Conservation statement)을 작성 할 수 있습니다. 

$$\frac{df}{dt}=\left (\frac{\partial f}{\partial t}\right )_{col}$$

 

이 속도 분포 함수는 속도 샘플링이 되어진 작은 제어 볼륨에 대해서만 유효하기 때문에 공간 좌표 함수와 시간으로 나타 낼수 있습니다. 

$$f=f(x,y,z,u,v,w,t)$$

 

연쇄 법칙 (chain rule)를 사용하여 속도 분포 함수의 총 도함수를 다시 작성하여 볼츠만 방정식을 얻을 수 있습니다.

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\nabla\cdot f+\frac{F}{m}\nabla_{v}\cdot f=\left (\frac{\partial f}{\partial t}\right )_{col}$$

 

입자간의 충돌을 배제 하게 되면 오른쪽 항은 0이 되고 이 방정식을 블라소프방정식이라고 합니다. 

$$\frac{\partial f}{\partial t}+\nabla\cdot f+\frac{F}{m}\nabla_{v}\cdot f=0$$

 

입자 간 상호 작용을 직접 고려하는 대신 이 편미분 방정식을 통합하여 가스 발생을 모델링할 수 있습니다.

감소된 차원으로 인해 직접적 접근법에 비해 수치적 요구사항 (연산시간 및 메모리 요구량)이 많이 줄어들었지만 이 접근법또한 다차원적 문제에 대해 수치적으로 실현 가능하지 않습니다.

 

맥스웰-볼츠만 분포 함수 (Maxwell-Boltzmann Distributition Functition)

앞서 소개해드린 두가지 방식은 수치적인 한계로 인해 사용이 불가능함을 알아보았습니다. 

요즘은 3D 플라즈마 시뮬레이션은 미세한 메시사이즈에서 일상적으로 수행되기 때문에 분명히 다른 대안이 존재해야 합니다.

 

앞서 소개한 볼츠만 방정식에서 사용되는 메모리의 대부분은 속도 함수를 저장하기 위해 사용됩니다. 그런데 많은 유닛 볼륨에서 속도 함수가 비어있기 때문에 함수를 단수화 할수 있습니다.

 

첫번째로 속도 분포 함수가 분석적 측면 (analytical profile) 을 따른다고 가정하면 속도 함수의 방향과 속도는 다음과 같이 정의 됩니다. 

$$f_M(v)=\frac{1}{\sqrt{\pi}v_{th}}exp\left ( \frac{-(v-v_d)^2}{v^2_{th}} \right )$$

위 함수를 맥스웰-볼츠만 분포 함수라고 합니다.

 

양자 통계역학을 사용하면 이 분포함수가 실제로 가장 높은 엔트로피 상태임을 도출 할 수있습니다.

 

오늘은 플라즈마 시뮬레이션에서 사용하는 접근법들을 알아보았습니다

 

다음 포스트는 맥스웰-볼츠만 분포함수에 대해 더욱 자세이 알아보겠습니다.