플라즈마 시뮬레이션 (1) 직접적 접근법 (Direct approach method)

플라즈마 시뮬레이션의 접근

단순하게 접근해 보았을때 플라즈마는 하전입자를 가진 가스라고 볼수 있습니다 (자연적으로 발생 하는 플라즈마는 더욱 심오하고 복잡해서 다른 물질 (들을 포함하고 있는게 일반적입니다).

 

플라즈마 해석의 목적은 플라즈마속 하전입자 (이온 및 전자 등) 움직임 (속도 및 위치) 변화을 예측하는 것입니다. 처음 시작은 모든 하전입자들은 운동방정식을 따르는 강체라고 추정할수 있습니다.

 

$$\frac{d\vec{x}}{dt}=\vec{v}$$

$$\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a} $$

 

$x$: 위치, $v$: 속도, $a$: 가속도

 

하전입자의 무게가 고정되어있다고 가정하면 가속도는 뉴턴의 2번째 법칙에 의해 밑의 수식처럼 적을수 있습니다.

 

$$\vec{a}=\sum \frac{\vec{F}}{m}$$

 

대전입자는 Coulomb force ($\vec{F_{c,ij}}$) 를 통해 서로 상호작용 하고 있습니다. 다른 외부 힘들 (중력) 은 보통 Coulomb force 보다 엄청 작기 때문에 대부분 무시되어 집니다. 

$$\vec{F}_{c,ij}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_iq_j}{{\left| \vec{x}_i-\vec{x}_j\right|}^3}(\vec{x}_i-\vec{x}_j)$$

 

$\epsilon_0$: permittivity of free space ($8.8542\times10^{-12}$ C/(Vm))

 

단일 입자에 작용하는 총 힘은 다음과 같이 표현 될수 있습니다.

$$\vec{F}_{c,i}=\sum_{j}^{N}\vec{F}_{c,ij}  (i\neq j)$$

 

속도 또한 충돌식을 포함하여 다른게 표현되어 질수 있습니다.

$$\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{1}{m}\sum_{j}^{N}\vec{F}_{c,ij}+\left ( \frac{d\vec{v}}{dt} \right )_{collison} (i\neq j)$$

 

직접적 접근법 (Direct approach method)

개념적으로 우리는 N개의 입자를 포함하는 시스템을 모델링할 수 있습니다. 하나의 입자에 작용하는 힘과 전기장의 상관관계를 통해 전기장을 구할수 있습니다. 

$$\vec{F}_{c,i}=q_i \vec{E}_{i}$$

$$\vec{E}_{i} = \sum{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_j}{{r_{ij}}^3}(r_i-r_j) (i\neq j)$$

 

하지만 이 방법의 가장 큰 단점은 효율성이 크게 떨어짐에 있습니다. N개의 입자에 대한 작용 힘을 계산하기위해 필요한 총 연산은 $N\times(N-1)$ 를 해야되어 기본적으로 엄청난 시간과 메모리를 사용 하게 되어 죽기전에 결과를 보지 못하게 될수도 있습니다 (N 입자가 충분히 많을때). 

 

위와 같은 이유로 직접적인 시뮬레이션은 사용할수가 없습니다.

 

다음 포스트는 시간사용 및 메모리를 줄일수 있는 다른 방법을 소개해 드리겠습니다.